Алгебра

From UzEnc
Jump to navigation Jump to search

Алгебра (араб. الجبر "Ал-Жабр") — математиканинг бир соҳаси. Алгебранинг асосий масаласи - тўпламларда киритилган математик амалларни ўрганиш. Шундай математик амаллар борки, улар бутунлай арифметик амалларга ўхшамайди (мас., ўрин алмаштириш ёки ассоциативлик қонунига бўйсунмайдиган амаллар мавжуд). Арифметикадан тайин сонлар устида биринчи тўрт амал ўрганилади. Алгебрада эса бу амалларнинг ҳар қандай сон ва сон бўлмаган бошқа математик об'эктлар учун ўринли умумий хоссалари текширилади. Бундай ҳосил қилинадиган натижаларнинг умумий бўлишига эришиш учун миқдорларнинг қийматлари ҳарфлар билан белгиланиниб, ҳарфий ифодалар устида бажариладиган амалларнинг қоида ва қонунлари кўрсатилади, ифодалар шаклини ўзгартириш ва тенгламаларни ечиш қоидалари ўрганилади.

Этимология[edit | edit source]

Алгебра (араб.— ал-Жабр) - мат,нинг бир соҳаси. Буюк олим Абу Абдулло Муҳаммад ибн Мусо ал-Хоразмий "Ал-жабр вал-муқобала" асарида дунёда биринчи марта алгебрани изчил баён қилган. Асар лотин тилига таржима қилиниб, "Алгебра" номи билан жаҳонга тарқалган. Алгебра тиклашни, я’ни манфийҳадларни тенгламанинг иккинчи томонига ўтказишни, вал-муқобала эса тенгламанинг иккала томонидан тенг ҳадларни ташлаб юборишни билдиради. Алгебранинг асосий масаласи — тўпламларда киритилган математик амалларни ўрганиш. Шундай математик амаллар борки, улар бутунлай арифметик амал-ларга ўхшамайди (мас, ўрин алмашти-риш ёки ассоциативлик қонунига бўйсунмайдиган амаллар мавжуд). Ариф-метикада тайин сонлар устида биринчи тўрт амал ўрганилади. Алгебрада эса бу амал-ларнинг ҳар қандай сон ва сон бўлмаган бошқа математик об’эктлар учун ўринли умумий хоссалари текширилади. Бунда ҳосил қилинадиган натижаларнинг уму-мий бўлишига эришиш учун миқдорларнинг қийматлари ҳарфлар билан белгиланиб, ҳарфий ифодалар устида ба-жариладиган амалларнинг қоида ва 302қонунлари кўрсатилади, ифодалар ша-клини ўзгартириш ва тенгламаларни ечиш қоидалари ўрганилади. Умар Хаўём Алгебрани тенгламалар ечиш ҳақидаги фан деб та’рифлаган эди. Унинг бу та’рифи 18-а. охиригача кучини сақлаб келди. Бундан кейинги даврда Алгебра янги йўналишлар билан кенгайтирилди, аммо амаллар ҳақидаги умумий фан сифатида ўз аҳамиятини сақлаб ҳам колли. Қад. мисрликлар анча мураккаб ма-салаларни ечганлар (ариф-метик ва геометрик прогрессияларга доир масалалар). Масалаларнинг та’ри-фи, уларнинг ечилиши оғзаки сўз 6-н фақат сонли мисоллар учун берилар эди. Бу мисоллар шакл жиҳатидан 1-ва 2-да-ражали теигламаларни ечишда умумий усулларнинг тўпланаётганлигидан дарак беради. Юнонистон геометрияси алоҳида ажралиб турарди. Бу ерда геометрик тек-ширишлар мантиқ томонидан шундай йўлга қўйилган эдики, унда ҳар бир ай-тилган фикр исбоциз қолдирилмас эди. Геометрик мулоҳазаларнинг кучли та’-сири натижасида арифметика ва Алгебра маса-лалари геом. тили билан баён этиларди. Мас, миқдорни узунлик деб, икки миқдор кўпайтмасини тўғри тўртбурчакнинг юзи деб қараларди. Ҳозирги замон математикасида миқдорнинг ўз-ўзига кўпайтмасини "ква-драт" деб аташ геометрик тилнинг ҳозиргача сақланиб келишидан намуна-дир. Юнонлар эришган натижаларни тўлдириш, умумлаштириш ва тараққий эттиришда Туркистон математиклари катта ҳисса қўшдилар. Илдизларни ҳисоблаш, бир қатор тенгламаларни тақрибий ечиш усуллари, Нютон бино-ми умумий формуласининг сўз билан та’-рифланган ифодасини бериш Туркистон математик олимлари томонидан муваффақиятли ҳал қилинган. 9— 10-а.ларда Туркистон йирик илмий марказга айланади. Бу даврда ал-Хоразмий, Абу Райҳон Берунийлар яшаган ва фан соҳасида ўзларининг йирик илмий ишла-ри билан дунёга ном таратган эдилар. 1074 йилда Умар Хайёмнинг "ал-Жабр" деган бошқа бир китобида чизиқли ва квадрат тенгламаларни ечиш, учинчи даражали тенгламалар илдизларини геометрик усул билан излаш ва бошқа жуда кўп масалалар-ни ечиш йўллари кўрсатилган. Ибн Сино асарларида ҳам ўша замон учун алоҳида аҳамиятга эга бўлган арифметика ва Алгебра масалаларининг ечимлари берилган. Унинг математикага, хусусан, Алгебра ва арифметика-га оид ишларида сонларни квадрат ва кубга кўтариш амаллари текширилган. Қад. дунё тарихидан то ал-Хоразмий дав-рига қадар математика Алгебра ва арифметика каби билимларга ажралган эмас эди. Фақат ал-Хоразмий давридан бошлаб Алгебра математиканинг алоҳида бўлими бўлиб ажралди. 15-а.да Самарқандда машҳур Улуғбек расадхонасининг ташки л топи-ши астрономиянинг тараққий этиши билан бир қаторда математиканинг ривожланишига ҳам сабаб бўлди. Алгебранинг тараққиёти учун амалларни сўз билан ифода этишдан кўра улар ўрнига қулай белгилар топиб ишла-тиш зарур эди. Бу иш жуда секинлик билан борди: қад. мисрликлар каср учун алоҳида белги ишлатишган. Диофант и ҳарфини тенглик белгиси учун (юн. исос — тенг) ишлатган. Италян олимлари плюс ва минус сўзлари ўрнида устига алоҳида чизиқ чизилган ва т ҳарфларини ишлатишган. 15-а. охирига келгандагина ҳозирги = ва — ишоралари киритилган. Бун-дан кейинги даврда масалада қатнашадиган миқдорлар, шунингдек но-ма’лумлар ҳарфлар билан белгиланадиган бўлди. 16-а. ўрталарида ҳозирги замон алге-брасидаги тимсоллар тўла такомиллаш-тирилди. Алгебрада бундай тўла тимсолларга ўтишга қадар бирор умумий қоида ёки исботни тушунтириш, бирор умумий фикрни та’рифлаш мумкин эмас эди. 16-а.да нома’лум миқдорлар учун унли А, Е,... ҳарфлари, ма’лум миқдорлар учун эса унсиз В, С, Д,... ҳарфлари ишла-тилиб, ўша вақтда киритилган математик амаллар билан боғланди. Шундай қилиб, ҳозирги замон Алгебраси учун хос бўлган ҳарфий формулалар биринчи мартаба пайдо бўлди. Ҳар қандай тайин сон ўрнига тим-солий белгиларнинг киритилиши, ҳар-303флардан арифметика амалларини ечишда фойдаланилиши жуда катта аҳамиятга эга эди. Бу билан формулалар тили бўлган математик восита ҳосил қилинди. Шу во-ситасиз 17-а.да олий математиканинг ёрқин тараққиёти, чексиз кичик миқдорлар таҳлили, физика, механика ва техника фанларидаги қонунларнинг математик ифодаларини бериш масалаларини хаёл-га келтириш ҳам мумкин эмас эди. 17-а.да Декартнинг аналитик геометрия ту-зишда тутган йўли Алгебрада пайдо бўлаётган ман-фий сон тушунчасини геометрик тасвирлаш билан бирга, манфий сонлар-нинг фандаги ўрнини мустаҳкамлади. Нома’лум сонлар учун х,й,з ҳарфларини ишлатиш Декартдан бошланган бўлиб, ҳозир ҳам шундай қилинади. Аналитик геометриянинг майдонга келиши Алгебранинг катта ютуғи бўлди. Агар юнонлар Алгебра ма-салаларини геом. тилида таҳлил қилган бўлсалар, энди, аксинча, геом. масалала-ри Алгебра формулаларига кўчириладиган бўлиб колди. 17-а. охири — 18-а. бошла-рида ишлаб чиқарувчи кучларнинг тараққиёти, техника ва табиий фанлар-нинг математика олдига қўйган талаблари муно-сабати билан дифференсиал ва интеграл ҳисоб вужудга келди ва тараққий эта бошлади. Бунга Алгебранинг босиб ўтган тари-хий тараққиёти ҳам замин тайёрлаб бер-ган эди. Бу даврда Алгебра билан математик таҳлил бир-бири билан жипс муносабатда тараққий қиларди. Алгебрага функсионал боғланиш масалалари кира бошлади. Таҳлил эса Алгебранинг бой формулалари тўпламидан фойдалана борди. 18—19-а.ларда Алгебра тахлилдан фарқ қилиб, дискрет ва чекли миқдорлар билан иш кўрарди: бу даврда Алгебра асосан кўпҳадлар билан шуғулланарди. 2-даражали тенгламалар-ни ечиш муносабати билан Алгебрада иррацио-нал ва комплекс сонларнинг фанга кири-тилиши учун эҳтиёж туғилади. Бу сон-ларнинг киритилиши билан 18-а.да Алгебра ҳозирги замон ўрта мактабида ўтилаётган Алгебра ҳажмига яқин келган эди. Ҳарфий белги-лардан фойдаланиб турли сонлар тизим-ларининг умумий хоссаларини ҳамда тенгламалар воситаси билан ечишнинг уму-мий методларини урганадиган Алгебра клас-сик алгебра деб юритилади. Классик Алгебрада кв. тенгламани ечиш қад. дунёдан ма’лум, аммо учинчи ва тўртинчи дара-жали тенгламаларни ечиш формулалари-ни эса фақат 16-а.да италян математи-клари Кардано, Тарталя ва Фер-рари яратиб берди. Бу формулалар тенглама илдизларини унинг коэф-фициентлари орқали рационал амаллар билан радикал-ларда ифода этади. Да-ражаси 4 дан юқори тенгламалар илдизларини ҳам шу йўсинда ифодалаш масаласи кўп вақн олимлар диққатини ўзига жал б қилиб келди. Орадан 300 и. ўтгач, 19-а.да Абел ҳамда Галуа даражаси 4 дан юқори алге-браик тенгламалар илдизларини коэффи-сиентлари орқали рационал амаллар билан радикал кўринишида ифода этиш мум-кин эмаслигини исбот килдилар (қ. Галуа назарияси). Галуа ҳар бир тенглама билан унинг илдизларини алмаштириш гуруҳини беради ва тенгламани текши-ришни бу гуруҳни текширишга келтира-ди. Алгебраик тенгламалар илдизлари-нинг сони ва уларнинг қайси соҳага те-гишли бўлиши масалалари ҳам кўп вақтдан бери олимларнинг диққат марка-зида турган масалалардандир. Д’Аламбер ва Гаусс комплекс коэффициентли ҳар қандай пдаражали тенглама п та ком-плекс илдизга эга эканлигини исботлади-лар (қ. Олий алгебранинг асосий теоре-маси). 19-а. бошларида мавҳум сонлар-нинг табиатини ўрганиш туфайли мате-матик амал тушунчаси кенгая бошлади. Инглиз математиклари биринчи бўлиб математик амалнинг мавҳум тушунчаси-га келдилар ва бу тушунчани янги мате-матик обектларга татбиқ қилиш билан Алгебра соҳасини кенгайтир-дилар. Бу даврда векторлар, кватернионлар, гаперком-плекс тизимлар, матрицалар алгебраси, ассоциатив бўлмаган алгебралар ва алге-браик геометрия ташкил топди ва ривож-ланди, янги алгебраик об’эктлар, чунон-чи халқа, майдонлар пайдо будди. Булар 19-а. 1-ярмидаги Алгебрани жонлантирди. Ўша 304вақтгача Алгебра методлари ва натижалари Алгебранинг марказий муаммоси ҳисобланган алгебраик тенгламаларни ечишдан ибо-рат эди. 1850 йилдан кейин эса аҳвол ўзгарди, янги изланишлар борган сари ҳозирги кунда алгеб-ранинг асосий муаммо-си ҳисобланган математика амалларни ўрганишдан иборат бўла борди. 19-а. 2-ярмида алгебраик сонлар, инвариант-лар ва гуруҳлар назарияси вужудга кел-ди. 20-а.да алгебра математиканинг турли соҳаларига, назарий физика, кимё, биол., генетика каби бошқа фанларга ҳам жадал кириб келди, я’ни математика ва бошқа кўпгина соҳаларни алгебралаштириш жараёни рўёбга келди. Айни пайтда Алгебра ва математиканинг турли соҳалари чегарасида математиканинг янги йўналишлари, чунончи Алгебра ва функсионал анализ ўртасида Банах Алгебралари:, операторлар Алари назарияси, Алгебра билан топология ўртасида гомологак Алгебра ва ҳ.к. пайдо бўлди. Алгебра фанининг ривожла-нишига бир қанча ўзбек олимлари, чу-нончи: Т. Саримсоқов, Ш. Аюпов, Ж. Ҳожиев ва бошқа ўз ҳиссаларини қўшдилар. Алгебра эҳгимоллар назарияси, топологияга оид топологик ярим майдонлар ва уму-ман тартибланган Алгебралар назариясини би-ринчи марта Ўзбекистонда Т. Саримсоқов ўз шогирдлари билан яратди.Шавкат Аюпов.[1]

Буюк олим Абу Абдулло Муҳаммад ибн Мусо ал-Хоразмий "Ал-жабр вал-муқобала" асарида дунёда биринчи марта алгебрани изчил баён қилган. Асар лотин тилига таржима қилиниб, "Алгебра" номи билан жаҳонга тарқатилган.

Тарихи[edit | edit source]

Ҳаволалар[edit | edit source]

Манбалар[edit | edit source]

  1. ЎзМЕ. Биринчи жилд. Тошкент, 2000-йил