Algebra

Algebra (arab. الجبر "Al-Jabr") — matematikaning bir sohasi. Algebraning asosiy masalasi - toʻplamlarda kiritilgan matematik amallarni oʻrganish. Shunday matematik amallar borki, ular butunlay arifmetik amallarga oʻxshamaydi (mas., oʻrin almashtirish yoki assotsiativlik qonuniga boʻysunmaydigan amallar mavjud). Arifmetikadan tayin sonlar ustida birinchi toʻrt amal oʻrganiladi. Algebrada esa bu amallarning har qanday son va son boʻlmagan boshqa matematik ob'ektlar uchun oʻrinli umumiy xossalari tekshiriladi. Bunday hosil qilinadigan natijalarning umumiy boʻlishiga erishish uchun miqdorlarning qiymatlari harflar bilan belgilaninib, harfiy ifodalar ustida bajariladigan amallarning qoida va qonunlari koʻrsatiladi, ifodalar shaklini oʻzgartirish va tenglamalarni yechish qoidalari oʻrganiladi.

Etimologiya[править | править код]

Algebra (arab.— al-Jabr) - mat,ning bir sohasi. Buyuk olim Abu Abdullo Muhammad ibn Muso al-Xorazmiy "Al-jabr val-muqobala" asarida dunyoda birinchi marta algebrani izchil bayon qilgan. Asar lotin tiliga tarjima qilinib, "Algebra" nomi bilan jahonga tarqalgan. Algebra tiklashni, ya’ni manfiyhadlarni tenglamaning ikkinchi tomoniga o‘tkazishni, val-muqobala esa tenglamaning ikkala tomonidan teng hadlarni tashlab yuborishni bildiradi. Algebraning asosiy masalasi — to‘plamlarda kiritilgan matematik amallarni o‘rganish. Shunday matematik amallar borki, ular butunlay arifmetik amal-larga o‘xshamaydi (mas, o‘rin almashti-rish yoki assotsiativlik qonuniga bo‘ysunmaydigan amallar mavjud). Arif-metikada tayin sonlar ustida birinchi to‘rt amal o‘rganiladi. Algebrada esa bu amal-larning har qanday son va son bo‘lmagan boshqa matematik ob’ektlar uchun o‘rinli umumiy xossalari tekshiriladi. Bunda hosil qilinadigan natijalarning umu-miy bo‘lishiga erishish uchun miqdorlarning qiymatlari harflar bilan belgilanib, harfiy ifodalar ustida ba-jariladigan amallarning qoida va 302qonunlari ko‘rsatiladi, ifodalar sha-klini o‘zgartirish va tenglamalarni yechish qoidalari o‘rganiladi. Umar Xao‘yom Algebrani tenglamalar yechish haqidagi fan deb ta’riflagan edi. Uning bu ta’rifi 18-a. oxirigacha kuchini saqlab keldi. Bundan keyingi davrda Algebra yangi yo‘nalishlar bilan kengaytirildi, ammo amallar haqidagi umumiy fan sifatida o‘z ahamiyatini saqlab ham kolli. Qad. misrliklar ancha murakkab ma-salalarni yechganlar (arif-metik va geometrik progressiyalarga doir masalalar). Masalalarning ta’ri-fi, ularning yechilishi og‘zaki so‘z 6-n faqat sonli misollar uchun berilar edi. Bu misollar shakl jihatidan 1-va 2-da-rajali teiglamalarni yechishda umumiy usullarning to‘planayotganligidan darak beradi. Yunoniston geometriyasi alohida ajralib turardi. Bu yerda geometrik tek-shirishlar mantiq tomonidan shunday yo‘lga qo‘yilgan ediki, unda har bir ay-tilgan fikr isbotsiz qoldirilmas edi. Geometrik mulohazalarning kuchli ta’-siri natijasida arifmetika va Algebra masa-lalari geom. tili bilan bayon etilardi. Mas, miqdorni uzunlik deb, ikki miqdor ko‘paytmasini to‘g‘ri to‘rtburchakning yuzi deb qaralardi. Hozirgi zamon matematikasida miqdorning o‘z-o‘ziga ko‘paytmasini "kva-drat" deb atash geometrik tilning hozirgacha saqlanib kelishidan namuna-dir. Yunonlar erishgan natijalarni to‘ldirish, umumlashtirish va taraqqiy ettirishda Turkiston matematiklari katta hissa qo‘shdilar. Ildizlarni hisoblash, bir qator tenglamalarni taqribiy yechish usullari, Nyuton bino-mi umumiy formulasining so‘z bilan ta’-riflangan ifodasini berish Turkiston matematik olimlari tomonidan muvaffaqiyatli hal qilingan. 9— 10-a.larda Turkiston yirik ilmiy markazga aylanadi. Bu davrda al-Xorazmiy, Abu Rayhon Beruniylar yashagan va fan sohasida o‘zlarining yirik ilmiy ishla-ri bilan dunyoga nom taratgan edilar. 1074 yilda Umar Xayyomning "al-Jabr" degan boshqa bir kitobida chiziqli va kvadrat tenglamalarni yechish, uchinchi darajali tenglamalar ildizlarini geometrik usul bilan izlash va boshqa juda ko‘p masalalar-ni yechish yo‘llari ko‘rsatilgan. Ibn Sino asarlarida ham o‘sha zamon uchun alohida ahamiyatga ega bo‘lgan arifmetika va Algebra masalalarining yechimlari berilgan. Uning matematikaga, xususan, Algebra va arifmetika-ga oid ishlarida sonlarni kvadrat va kubga ko‘tarish amallari tekshirilgan. Qad. dunyo tarixidan to al-Xorazmiy dav-riga qadar matematika Algebra va arifmetika kabi bilimlarga ajralgan emas edi. Faqat al-Xorazmiy davridan boshlab Algebra matematikaning alohida bo‘limi bo‘lib ajraldi. 15-a.da Samarqandda mashhur Ulug‘bek rasadxonasining tashki l topi-shi astronomiyaning taraqqiy etishi bilan bir qatorda matematikaning rivojlanishiga ham sabab bo‘ldi. Algebraning taraqqiyoti uchun amallarni so‘z bilan ifoda etishdan ko‘ra ular o‘rniga qulay belgilar topib ishla-tish zarur edi. Bu ish juda sekinlik bilan bordi: qad. misrliklar kasr uchun alohida belgi ishlatishgan. Diofant i harfini tenglik belgisi uchun (yun. isos — teng) ishlatgan. Italyan olimlari plyus va minus so‘zlari o‘rnida ustiga alohida chiziq chizilgan va t harflarini ishlatishgan. 15-a. oxiriga kelgandagina hozirgi = va — ishoralari kiritilgan. Bun-dan keyingi davrda masalada qatnashadigan miqdorlar, shuningdek no-ma’lumlar harflar bilan belgilanadigan bo‘ldi. 16-a. o‘rtalarida hozirgi zamon alge-brasidagi timsollar to‘la takomillash-tirildi. Algebrada bunday to‘la timsollarga o‘tishga qadar biror umumiy qoida yoki isbotni tushuntirish, biror umumiy fikrni ta’riflash mumkin emas edi. 16-a.da noma’lum miqdorlar uchun unli A, Ye,... harflari, ma’lum miqdorlar uchun esa unsiz V, S, D,... harflari ishla-tilib, o‘sha vaqtda kiritilgan matematik amallar bilan bog‘landi. Shunday qilib, hozirgi zamon Algebrasi uchun xos bo‘lgan harfiy formulalar birinchi martaba paydo bo‘ldi. Har qanday tayin son o‘rniga tim-soliy belgilarning kiritilishi, har-303flardan arifmetika amallarini yechishda foydalanilishi juda katta ahamiyatga ega edi. Bu bilan formulalar tili bo‘lgan matematik vosita hosil qilindi. Shu vo-sitasiz 17-a.da oliy matematikaning yorqin taraqqiyoti, cheksiz kichik miqdorlar tahlili, fizika, mexanika va texnika fanlaridagi qonunlarning matematik ifodalarini berish masalalarini xayol-ga keltirish ham mumkin emas edi. 17-a.da Dekartning analitik geometriya tu-zishda tutgan yo‘li Algebrada paydo bo‘layotgan man-fiy son tushunchasini geometrik tasvirlash bilan birga, manfiy sonlar-ning fandagi o‘rnini mustahkamladi. Noma’lum sonlar uchun x,y,z harflarini ishlatish Dekartdan boshlangan bo‘lib, hozir ham shunday qilinadi. Analitik geometriyaning maydonga kelishi Algebraning katta yutug‘i bo‘ldi. Agar yunonlar Algebra ma-salalarini geom. tilida tahlil qilgan bo‘lsalar, endi, aksincha, geom. masalala-ri Algebra formulalariga ko‘chiriladigan bo‘lib koldi. 17-a. oxiri — 18-a. boshla-rida ishlab chiqaruvchi kuchlarning taraqqiyoti, texnika va tabiiy fanlar-ning matematika oldiga qo‘ygan talablari muno-sabati bilan differensial va integral hisob vujudga keldi va taraqqiy eta boshladi. Bunga Algebraning bosib o‘tgan tari-xiy taraqqiyoti ham zamin tayyorlab ber-gan edi. Bu davrda Algebra bilan matematik tahlil bir-biri bilan jips munosabatda taraqqiy qilardi. Algebraga funksional bog‘lanish masalalari kira boshladi. Tahlil esa Algebraning boy formulalari to‘plamidan foydalana bordi. 18—19-a.larda Algebra taxlildan farq qilib, diskret va chekli miqdorlar bilan ish ko‘rardi: bu davrda Algebra asosan ko‘phadlar bilan shug‘ullanardi. 2-darajali tenglamalar-ni yechish munosabati bilan Algebrada irratsio-nal va kompleks sonlarning fanga kiri-tilishi uchun ehtiyoj tug‘iladi. Bu son-larning kiritilishi bilan 18-a.da Algebra hozirgi zamon o‘rta maktabida o‘tilayotgan Algebra hajmiga yaqin kelgan edi. Harfiy belgi-lardan foydalanib turli sonlar tizim-larining umumiy xossalarini hamda tenglamalar vositasi bilan yechishning umu-miy metodlarini urganadigan Algebra klas-sik algebra deb yuritiladi. Klassik Algebrada kv. tenglamani yechish qad. dunyodan ma’lum, ammo uchinchi va to‘rtinchi dara-jali tenglamalarni yechish formulalari-ni esa faqat 16-a.da italyan matemati-klari Kardano, Tartalya va Fer-rari yaratib berdi. Bu formulalar tenglama ildizlarini uning koef-fitsiyentlari orqali ratsional amallar bilan radikal-larda ifoda etadi. Da-rajasi 4 dan yuqori tenglamalar ildizlarini ham shu yo‘sinda ifodalash masalasi ko‘p vaqn olimlar diqqatini o‘ziga jal b qilib keldi. Oradan 300 i. o‘tgach, 19-a.da Abel hamda Galua darajasi 4 dan yuqori alge-braik tenglamalar ildizlarini koeffi-siyentlari orqali ratsional amallar bilan radikal ko‘rinishida ifoda etish mum-kin emasligini isbot kildilar (q. Galua nazariyasi). Galua har bir tenglama bilan uning ildizlarini almashtirish guruhini beradi va tenglamani tekshi-rishni bu guruhni tekshirishga keltira-di. Algebraik tenglamalar ildizlari-ning soni va ularning qaysi sohaga te-gishli bo‘lishi masalalari ham ko‘p vaqtdan beri olimlarning diqqat marka-zida turgan masalalardandir. D’Alamber va Gauss kompleks koeffitsiyentli har qanday pdarajali tenglama p ta kom-pleks ildizga ega ekanligini isbotladi-lar (q. Oliy algebraning asosiy teore-masi). 19-a. boshlarida mavhum sonlar-ning tabiatini o‘rganish tufayli mate-matik amal tushunchasi kengaya boshladi. Ingliz matematiklari birinchi bo‘lib matematik amalning mavhum tushunchasi-ga keldilar va bu tushunchani yangi mate-matik obektlarga tatbiq qilish bilan Algebra sohasini kengaytir-dilar. Bu davrda vektorlar, kvaternionlar, gaperkom-pleks tizimlar, matritsalar algebrasi, assotsiativ bo‘lmagan algebralar va alge-braik geometriya tashkil topdi va rivoj-landi, yangi algebraik ob’ektlar, chunon-chi xalqa, maydonlar paydo buddi. Bular 19-a. 1-yarmidagi Algebrani jonlantirdi. O‘sha 304vaqtgacha Algebra metodlari va natijalari Algebraning markaziy muammosi hisoblangan algebraik tenglamalarni yechishdan ibo-rat edi. 1850 yildan keyin esa ahvol o‘zgardi, yangi izlanishlar borgan sari hozirgi kunda algeb-raning asosiy muammo-si hisoblangan matematika amallarni o‘rganishdan iborat bo‘la bordi. 19-a. 2-yarmida algebraik sonlar, invariant-lar va guruhlar nazariyasi vujudga kel-di. 20-a.da algebra matematikaning turli sohalariga, nazariy fizika, kimyo, biol., genetika kabi boshqa fanlarga ham jadal kirib keldi, ya’ni matematika va boshqa ko‘pgina sohalarni algebralashtirish jarayoni ro‘yobga keldi. Ayni paytda Algebra va matematikaning turli sohalari chegarasida matematikaning yangi yo‘nalishlari, chunonchi Algebra va funksional analiz o‘rtasida Banax Algebralari:, operatorlar Alari nazariyasi, Algebra bilan topologiya o‘rtasida gomologak Algebra va h.k. paydo bo‘ldi. Algebra fanining rivojla-nishiga bir qancha o‘zbek olimlari, chu-nonchi: T. Sarimsoqov, Sh. Ayupov, J. Hojiyev va boshqa o‘z hissalarini qo‘shdilar. Algebra ehgimollar nazariyasi, topologiyaga oid topologik yarim maydonlar va umu-man tartiblangan Algebralar nazariyasini bi-rinchi marta O‘zbekistonda T. Sarimsoqov o‘z shogirdlari bilan yaratdi.Shavkat Ayupov.^[1]

Buyuk olim Abu Abdullo Muhammad ibn Muso al-Xorazmiy "Al-jabr val-muqobala" asarida dunyoda birinchi marta algebrani izchil bayon qilgan. Asar lotin tiliga tarjima qilinib, "Algebra" nomi bilan jahonga tarqatilgan.