Tenglama

Tenglama — ikki yoki undan oshiq ifodalarning oʻzaro bogʻlanganini koʻrsatuvchi matematik tenglik. Tenglamalardan matematikaning barcha nazariy va amaliy sohalarida hamda fizika, biologiya va boshqa ijtimoiy fanlarda qoʻllaniladi.

Tenglik belgisining birinchi marta ishlatilgani (14x+15=71). Robert Recordening „Witte Chaqmoqtoshi“ („The Whetstone of Witte“) kitobidan (1557).

Tenglamada bir yoki undan koʻp nomaʼlum qiymat boʻladi va ular oʻzgaruvchilar yoki nomaʼlumlar deb ataladi. Nomaʼlumlar odatda harflar yoki boshqa beglilar bilan ifodalanadi.

Tenglamalar ulardagi oʻzgaruvchilar soniga qarab nomlanadi. Masalan, bir oʻzgaruvchili tenglama, ikki oʻzgaruvchili tenglama, va hokazo.

Tenglamada ifodalar odatda tenglik belgisining (=) ikki tomoniga yoziladi. Masalan, x + 3 = 5 tenglamasi x+3 ifodasi 5 ga teng ekanligini taʼkidlaydi. Tenglik belgisini (=) Shotlandiyalik matematik Robert Recorde (1510-1558) oʻylab topgan. U ikki bir xil uzunlikdagi parallel toʻgʻri chiziqlardan tengroq narsa boʻlmaydi deb hisoblagan.

Tarixi

Diofantning „Arifmetika“ kitobining 1621-yilgi nashri muqovasi. Lotin tiliga Claude Gaspard Bachet de Méziriac tarjima qilgan. Diofant tenglamalarni oʻrgangan eng eski matematiklardan biridir

Tenglamalarning ilk yechimlari eramizdan 2000 yilcha oldin yozilgan Rhind papirusida yozilgan. Berilgan masalalar arifmetik masalalar boʻlgan. Masalan, „massa va uning 1/7 ning yigʻindisi 19 ga teng“ kabi masalar uchun tenglamalar yozilgan. Bunday masala uchun nomaʼlumni x deb belgilab, x+1/7x kabi sodda tenglama yozilgan. Arifmetik masalalardan keyin ikki nomaʼlum qiymatli tenglamalar yuzaga kelgan. Yunonlar qoʻshaloq chiziqli tenglamalarni bilishgan. Arximedning „chorva masalasi“ kabi sistemalarda berilgan noaniq tenglamar Diofant bir necha shunaqa tenglamani ishlab koʻrsatib bermagunicha jiddiy oʻrganilmagan.

Kvadrat tenglamalar yunonlar proportsiyalarni oʻrganishayotganida mavjudaga kelgan. Ular kvadrat tenglamalarni geometrik usulda yechishgan. Ammo bu geometrik usulning hozirgi umumlashtirilgan algebraik geometriyaga aloqasi yoʻq. Algebraik geomotriyada grafiklar bilan tenglamalarni yoki aksincha, tenglamalarni grafiklar bilan ifodalash mumkin. Sodda kvadrat tenglama ikki a va b chiziqlari orasidagi oʻrtacha proportsional x ni aniqlashda yoki berilgan toʻrtburchakka teng kavdratni topishda kelib chiqqan. Ishlatilgan proportsiya a:x = x:b koʻrinishida boʻlgan. Bu ifoda boʻlsa x² = ab ga tengdir. x²+ax-a² koʻrinishidagi umumiyroq tenglama berilgan biror-bir chiziq medianasini topish kerak boʻlgan masalaning algebraik ekvivalentidir. Diofantga kvadrat tenglamaning algebraik yechimi maʼlum boʻlgan deb aytiladi. Ammo u faqat bitta ildizni payqagan.

Rene Dekart tenglamalarni grafik figuralar qilib ifodalashni koʻrsatib bergan.

Soddda kub tenglama biri ikkinchisidan ikki marta uzun boʻlgan ikki chiziq oʻrtasida x va y oʻrtacha proporsionallarni topish kerak boʻlgan masalada berilgan. Buni a:x=x:y=y:2a koʻrinishida ifodalash mumkin. Bu ifodadan x² = ay va xy = 2a² kelib chiqadi. y ni yoʻq qilsak x³ = 2a³ sodda kub tenglama hosil boʻladi. Yunonlar bu tenglamani yecha olishmagan. Bu tenglama yana kubning dublikatini yasashda va burchakni chizgʻich yoki sirkul bilan teng uchga boʻlishda ham yuzga kelgan. Burchak boʻlish uchun sissoida, konxoida va kvadratrisa kabi mexanik egri chiziqlardan foydalanishgan. Bunday yechimlarni arablar takomillashtirgan. Ular kub va bikvadrat tenglamalarni konus kesimlari bilan yechishgan. Diofant boshlagan va hundlar takomillashtirgan tenglamalarning taxminiy ildizlarini algebraik yoʻllarda yechish usullarini arablar yanada oldinga surishgan. Kub va bikvadrat tenglamalarning algebraik yechimlari 16-asrda S. Ferro, N. Tartaglia, H. Cardan va L. Ferrari tomonidan ishlab chiqilgan.

Beshinchi darajali tenglamalarni yechishga koʻp urinilgan. P. Ruffini va N. H. Abel buning iloji yoʻqligini isbotlashgan. C. Hermite va L. Kronecker elliptik funksiyalardan iborat yechimini koʻrsatgan. F. Klein ham bu tenglamalarni yechishning yana bir boshqa yoʻlini taklif qilgan.

Tenglamalarga geomotrik yondoshishda yunonlar va arablar baʼzi bir egri chiziqlar va figuralarning xossalaridan kelib chiqib xulosalar qilishgan. Proporsiyalardan foydalanib xususiy hollar uchun yechim topilgan, ammo umumiy hol uchun qoniqarli javob boʻlmagan. Bu muammoni 17-asrda Rene Dekart bartaraf qilgan. U tenglamalarning grafik yechimlarini tushuntiruvchi umumiy teoremani ishlab chiqqan. Xususan, Dekart konik kesimlar ishlatilgan hollarni koʻrsatib bergan. Bundan tashqari, Dekart har bir tenglama geometrik nuqtalar joylashishiga egaligini va har bir geometrik nuqtalar joylashashi tenglamaga egaligini koʻrsatgan. Ikki x va y nomaʼlumli tenglamalarni ifodalash uchun Dekart bir-birga perpendikular ikki oʻqni olgan. x ni gorizontal oʻq boʻylab va y ni vertikal oʻq boʻylab oʻlchagan. Keyin u chiziqli tenglama toʻgʻri chiziqni ifodalashini va kvadrat tenglama konik chiziqni ifodalashani koʻrsatib bergan.

Taqqoslashlar

Sodda tenglama tasviri. x, y, z haqiqiy sonlardir va bu yerda ular toshlarga taqqoslangan.

Tengalama koʻpincha taroziga taqqoslanadi. Yana muvozanat, innana yoki boshqa shunga oʻxshash jismlar ham tenglamaga oʻxshatiladi.

Muvozanatning har ikki tomoni tenglamaning ikki tomoniga toʻgʻri keladi. Ikki tomonda turli qiymatlar qoʻylishi mumkin. Agar shu jismlar teng boʻlsa muvozanat tenglamaga mos keladi. Agar jismlar teng boʻlmasa unda bu hol tengsizlikka o'xshatiladi.

Oʻngdagi tasvirda x, y va z har xil qiymatlar bo'lib (bu yerda ular haqiqiy sonlardir), bu qiymatlar aylana shaklidagi ogʻirliklar qilib tasvirlangan. Qoʻshish amali vazn qoʻshishga, ayirish boʻlsa tarozi pallalaridan yuk olishga mos tushadi. Ikki tomondagi umumiy vazn bir xildir.

Tenglamalarni yechish

$x=f(x)$ tenglamasining ildizlarini grafik usulda topish

Tenglamani yechish — bu uning barcha ildizlarini topish yoki ularning yoʻqligini (mavjud emasligini) isbot qilishdir. Baʼzan ildizlarga qoʻshimcha cheklashlar qoʻyiladi. Masalan, tenglama ildizlar faqat butun sonlar boʻlishi talab qilinishi mumkin.

Funksiya argumenti (baʼzan „oʻzgaruvchi“ deb atalaladi) tenglamalarda noʻmalum miqdor deb ataladi.

Oʻzgaruvchili

$f(x)=g(x)\,$

tenglik bir x oʻzgaruvchili tenglama deb ataladi. Oʻzgaruvchining f(x) va g(x) ifodalar bir xil son qiymatlar qabul qiladigan har qanday qiymati tenglamaning ildizi yoki yechimi deyiladi.

Tenglamalarning teng kuchliligi

Bir xil ildizlarga ega tenglamalar teng kuchli tenglamar deyiladi. Ildizga ega boʻlmagan har bir tenglama ham teng kuchli hisoblanadi. Tenglamani yechish jarayonida uni soddaroq, lekin berilgan tenglamaga teng kuchli boʻlgan tenglama bilan almashtirishga harakat qilinadi. Shuning uchun har qanday shakl almashtirishlarda berilgan tenglama unga teng kuchli tenglamaga oʻtishini bilish muhimdir.

Teorema: Agar tenglamada birorta qoʻshiluvchini tenglamaning bir tomonidan ikkinchi tomoniga ishorasini oʻzgartirib oʻtkazilsa, berilgan tenglamaga teng kuchli tenglama hosil boʻladi.

Masalan,

$x^{2}+2=3x\,$

tenglama

$x^{2}+2-3x=0\,$

ga teng kuchlidir.

Teorema: Agar tenglamaning har ikkala tomonini noldan farqli bir songa koʻpaytirilsa yoki boʻlinsa, berilgan tenglamaga teng kuchli tenglama hosil boʻladi.

Masalan,

${\frac {x^{2}+1}{3}}\ =2x$

tenglama

$x^{2}+1=6x\,$

tenglamaga teng kuchli (birinchi tenglamaning har ikkala tomonini 3 ga koʻpaytirildi).

Tenglamalarning asosiy xossalari

Tenglama tarkibidagi algebraik ifodalar ustida turli amallar bajarish mumkin. Bunda tenglamaning ildizlari oʻzgarmaydi. Keng tarqalgan amallar quyidagilardir:

1. Tenglamaning har iki tomoniga aynan bir xil haqiqiy sonni qoʻshish mumkin.
2. Tenglamaning har iki tomonidan aynan bir xil haqiqiy sonni ayirish mumkin.
3. Tenglamaning har iki tomonini 0 dan boshqa har qanday haqiqiy songa boʻlish mumkin.
4. Tenglamaning har iki tomonini har qanday haqiqiy songa koʻpaytirish mumkin.
5. Tenglamaning istagan tomonida qavslarni ochish mumkin.
6. Tenglamaning istagan qismida oʻxshash qoʻshiluvchilarni keltirish mumkin.
7. Tengalamaning istagan aʼzosini bir qismdan ikkinchi qismga qarama-qarshi belgi bilan olib oʻtish mumkin.
8. Ba'zi hollarda har ikki tomonga ayrim bir funksiyalarni qoʻshish mumkin. Bunday amal bajarayotganda tenglama ildizlari yoʻqotilmasligiga e'tibor berish kerak. Masalan, $yx=x$ tenglamasida ikki guruh yechim bor: $y=1$ (har qanday x bilan) va $x=0$ (har qanday y bilan). Ikkala tomonni ikkinchi darajaga koʻtarish (yaʼni, ikki tomonga $f(s)=s^{2}$ funksiyasini kiritish) berilgan tenglamani $(xy)^{2}=x^{2}$ qilib oʻzgartiradi. Bu yangi tenglamada eski tenglamaning barcha ildizlari bilan birga yangi ildizlar ham bor: $y=-1$ va x har qanaqa son.

Tenglama turlari

Tenglamalarning juda ham turi koʻp. Quyida eng muhim turlari haqida qisqacha toʻxatalib oʻtilgan:

Chiziqli tenglamalar

Asosiy maqola: Chiziqli tenglama.

Chiziqli tenglama grafigi

Chiziqli tenglama bu ikkala tomoni ham birinchi darajali (nomaʼlum) koʻphadlardan iborat tenglamadir. Chiziqli tenglamani quyidagi koʻrinishda ifodalash mumkin: ax + b = 0, bu yerda a — nol boʻlmagan son, b — ozod had.

Kvadrat tenglamalar

Asosiy maqola: Kvadrat tenglama.

Kvadrat tenglama koʻp hadli, bir oʻzgaruvchili va ikkinchi darajali tenglamadir. Umumiy koʻrinishi odatda quyidagicha ifodalanadi:

$ax^{2}+bx+c=0.\,$

Bu yerda a, b, c — haqiqiy sonlar va a≠0. Agar a=1 boʻlsa, kvadrat tenglama keltirilgan tenglama, agar a≠1 boʻlsa, keltirilmagan tenglama deyiladi. a, b, c sonlari quyidagicha ataladi:

• a — birinchi (bosh) koeffitsiyent;
• b — ikkinchi koeffitsiyent;
• c — ozod had.

Kavadrat tenglama ildizlari quyidagi formula boʻyicha topiladi:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$

Ratsional tenglamalar

Asosiy maqola: Ratsional tenglama.

Ratsional tenglama deb ratsional ifodalardan tuzilgan tenglamaga aytiladi. Agar f(x) va g(x) ratsional ifodalar boʻlsa,

$f(x)=g(x)$

tenglama ratsional tenglama deyiladi. Bunda agar f(x) va g(x) butun ifodalar boʻlsa, tenglama butun tenglama deyiladi. Agar f(x), g(x) ifodalardan hech boʻlmaganda biri kasr ifoda boʻlsa, f(x)=g(x) ratsional tenglama yoki kasr tenglama deyiladi. Chiziqli, kvadrat tenglamalar butun tenglamalardir.

Bikvadrat tenglamalar

Asosiy maqola: Bikvadrat tenglama.

Bikvadrat tenglama deb toʻrtinchi darajali tenglamaga aytiladi. Umumiy koʻrinishi quyidagicha ifodalanadi:

$ax^{4}+bx^{2}+c=0.$

Bu yerda a≠0.

Irratsional tenglamalar

Asosiy maqola: Irratsional tenglama.

Irratsional tenglama deb tarkibida ildiz belgisi ostida oʻzgaruvchi boʻlgan tenglamaga aytiladi. Irratsional tenglamalarni yechishning ikkita usuli keng tarqalgan. Bular tenglamaning ikkala tomonini bir xil darajaga koʻtarish va yangi oʻzgaruvchilar kiritish usullaridir.

Koʻrsatkichli tenglamalar

Asosiy maqola: Koʻrsatkichli tenglama.

Koʻrsatkichli tenglama yoki darajali tenglama matematik darajasi koʻphaddan iborat tenglamadir. Koʻrsatkichli tenglamani odatda

$a^{f(x)}=a^{g(x)}$

(bu yerda a>0, a≠1) koʻrinishga keltirish mumkin.

Logarifmik tenglamalar

Asosiy maqola: Logarifmik tenglama.

Logarifmik tenglama deb tarkibida logarifmlar boʻlgan tenglamaga aytiladi. Logarifmik tenglama odatda

$\log _{a}{f(x)}=\log _{a}{g(x)}\,$

(Bu yerda a >0, a≠1) koʻrinishga keltiriladi.

Parametrli tenglamalar

Asosiy maqola: Parametrli tenglama.

Parametrli tenglama deb biror-bir bogʻlanishni parametrlar yordamida ifodalagan tenglamaga aytiladi. Parametrli tenglamaga sodda misol sifatida kinematikadan vaqt parametri bilan harakatdagi jismning joyini, tezlanishini va boshqa xususiyatlarini ifodalovchi tenglamani keltirish mumkin. Abstrakt maʼnoda parametrik tenglama deb tenglamalar toʻplamini aytish mumkin.

Differensial tenglamalar

Asosiy maqola: Differensial tenglama.

Differensial tenglama nomaʼlum funksiyalar, ularning turli tartibli hosilalari va erkli oʻzgaruvchilar ishtirok etgan tenglamalardir. Bu tenglamalarda nomaʼlum funksiya i orqali belgilangan boʻlib, birinchi ikkitasida i bitta erkli oʻzgaruvchi t ga, keyingilarida esa mos ravishda x, t va x, y, z erkli oʻzgaruvchilarga bogʻliqdir.

Integral tenglamalar

Asosiy maqola: Integral tenglama.

Integral tenglama nomaʼlum funksiya integral belgisi ostida boʻlgan tegnlamadir. Integral tenglamalar bilan differensial tenglamalar chambarchas bogʻlangan boʻlib, koʻp holarda ularni bir-biri bilan almashtirish mumkin.

Havolalar

• Tenglama, Katta sovet ensiklopediyasi ^(rus.)
• Tenglama, Matematika ensiklopediyasi ^(rus.)
• Ikki va uch oʻlchamli matematik tenglamalarni chizuvchi, Winplot ^(ingl.)
• Turli xil matematik tenglamalar yechimlari, EqWorld ^(ingl.)