Viyet formulalari

Viyet formulalari — koʻphadning koeffitsiyentlarini uning ildizlari orqali ifodalovchi formulalar. Bu formulalar bilan koʻphadning ildizlari toʻgʻriligini tekshirish qulay. Yana bu formulalar yordamida berilgan ildizlar boʻyicha koʻphadni tuzish mumkin. Bu formulalar farang matematigi Fransua Viyet (fransuzcha François Viète, lotinlashtirilgani Franciscus Vieta) nomi bilan ataladi. Viyet formulalari koʻproq algebrada ishlatiladi.

Viyet bu formulalarni musbat ildizlarni topish hollari uchun aniqlagan. Viyet yashagan davrda tenglamalarda faqat musbat ildizlar mavjud xolos deb ishonilgan. Viyet ham manfiy ildizlar mavjud emas deb hisoblagan va tenglama ildizlari vu uning koeffitsiyentlari orasidagi munosabatlarni qisman tushungan xolos. 1629-yilda boshqa farang matematigi Albert Girard Viyet formulalarini faqatgina musbat haqiqiy ildizlarga cheklanmagan umumiy holini topgan.

Viyet formulalarini aslida Albert Girard Viyetdan avval topgan degan fikrlar ham mavjud. Masalan, 18-asrda yashagan britan matematigi Charles Huttonga koʻra, Viyet formulalarining umumiy holi haqida Albert Girard Fransua Viyetdan oldinroq oʻz asarlarida yozgan.

Qonunlar

Asosiy formulalar

n-darajali har qanday koʻphad

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}\,$ (bu yerda koeffitsiyentlar haqiqiy yoki kompleks son boʻlishi mumkin va a_n ≠ 0)

algebraning asosiy teoremasiga koʻra n ta (bir-biridan farqli boʻlishi shart boʻlmagan) x₁, x₂, …, x_n kompleks ildizga ega.

Viyet formulalari koʻphadning koeffitsiyentlarini { a_k } shu koʻphad ildizlarining yigʻindisi va koʻpaytmasi { x_i } bilan quyidagicha qilib bogʻlaydi:

${\begin{cases}x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n}=-{\tfrac {a_{n-1}}{a_{n}}}\\(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\{}\quad \vdots \\x_{1}x_{2}\dots x_{n}=(-1)^{n}{\tfrac {a_{0}}{a_{n}}}.\end{cases}}$

Boshqacha qilib aytganda, a_n−k (n − k) inchi koeffitsiyenti ildizlarning barcha mumkin boʻlgan koʻpaytmalarini har safar k ta olingan yigʻindisiga quyidagicha bogʻlangan:

$\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{k}}=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}.$

Bu yerda k = 1, 2, …, n. Bu yerda yana i_k indekslarini oʻsib borish tartibida yozamiz. Chunki ildizlarning har bir koʻpaytmasi faqat bir marta yozilishi kerak. Viyet formulalarining chap tomoni ildizlarning elementar simmetrik funksiyalaridir.

Halqalarga umumlashtirish

Viyet formulalari koʻpincha koeffitsiyentlari har qanaqa butunlik oblasti (ингл. integral domain) R da joylashgan koʻphadlar bilan ishlatiladi. Bu holda $a_{i}/a_{n}$ boʻlaklari R ning ulushlar halqasiga (ингл. ring of fractions) kiradi. Agar $a_{i}/a_{n}$ R da qaytariluvchi boʻlsa boʻlakalr R ning oʻziga kiradi. $x_{i}$ ildizlar algebraik yopiq maydonda (ингл. algebraically closed field) olinadi. Odatda R butun sonlarning halqasidir va kasrlar maydoni ratsional sonlar maydonidir. Algebraik yopiq maydon boʻlsa kompleks sonlar maydonidir. Bu holda Viyet formulalari foydalidir. Sababi, ular ildizlar orasidagi aloqalarini ildizlarni hisoblashsiz bilib olishga yordam beradi.

Butunlik oblasti boʻlmagan kommutativ halqa (yoki abel halqasi) koʻphadlari uchun Viyet formulalarini har doim ham emas, balki $a_{i}$ lar $x_{i}$ lardan hisoblangandagina ishlatsa boʻladi. Masalan, 8 modulli butun sonlari halqasida $x^{2}-1$ hoʻphadida toʻrt ildiz bor. Bular 1, 3, 5, 7 dir. Agar $x_{1}=1$ va $x_{2}=3$ boʻlsa, Viyet formulalari toʻgʻri boʻlmaydi.

Misollar

Kvadrat tenglama

Teorema

Agar

$x^{2}+px+q=0\,$

keltirilgan kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga ega boʻlsa, u holda ularning yigʻindisi -pga, koʻpaytmasi esa qga teng boʻladi.

Yaʼni,

${\begin{cases}~x_{1}+x_{2}=-p\\~x_{1}x_{2}=q\end{cases}}$ (1)

Keltirilgan kvadrat tenglama ildizlarining yigʻindisi qarama-qarshi ishora bilan olingan ikkinchi koeffitsiyentga, ildizlarining koʻpaytmasi esa ozod hadga teng.

Misol

$x^{2}-5x+6=0$

kvadrat tenglamasi berilgan boʻlsin. Bu tenglamada ikkiz ildiz, yaʼni $x_{1}$ va $x_{2}$ mavjud deb qaralsin. Viyet formulalariga koʻra, quyidagi munosabat toʻgʻri boʻlshi kerak:

${\begin{cases}~x_{1}+x_{2}=5\\~x_{1}x_{2}=6\end{cases}}$

Bu yerda ildizlarning koʻpaytmasi musbat son boʻlgani uchun ildizlar ham musbat sonlar ekanligini bilib olish mumkin. Ildizlar musbat butun sonlar deb tasavvur qilsak, faqat ikki holdagina koʻpaytma 6 ga teng boʻladi, yaʼni $1*6=6$ va $2*3=6$ hollarida. Viyet teoremasining ikkinchi sharti boʻyicha bu yerda ildizlar yigʻindisi 5 ga teng boʻlishi lozim. 1 bilan 6 ning yigʻindisi bu shartni qanoatlantirmaydi. Ammo 2 va 3 sonlarining yigʻindisi berilgan shartni qanoatlantiradi: $2+3=5$. Demak, tenglamaning ildizlari 2 va 3 ga teng.

Yana boshqa munosabatlar

Keltirilgan kvadrat tenglama

$x^{2}+px+q=0\,$

ildizlari va koeffitsentlari oʻrtasidagi yana baʼzi munosobatlarni keltirib chiqaramiz. Ildizlar kvadratlarining yigʻindisini topamiz:

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})-2x_{1}x_{2}=(x_{1}+x_{2})(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}.$

Endi (1) dan foydalanib quyidagicha yozamiz:

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=p^{2}-2q.$ (2)

Ildizlar kublarining yigʻindisini topamiz:

$x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=(x_{1}+x_{2})(x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})=(x_{1}+x_{2})((x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}).$

(1) va (2) formulalardan foydalanib, quyidagicha yozamiz:

$x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=-p(p^{2}-3q).$

Teskari teorema

Viyet teoremasiga teskari teorema oʻrinlidir.

Teorema: Agar $x_{1}$ va $x_{2}$ sonlar shunday boʻlsaki, $x_{1}+x_{2}=-p$, $x_{1}x_{2}=q$ boʻlsa, u holda $x_{1}$ va $x_{2}$ lar kvadrat tenglamaning ildizlaridan iborat boʻladi.

Bu teorema bir qator hollarda kvadrat tenglama ildizlarini ildizlar formulasidan foydalanmasdan topishga imkon beradi.

Uchinchi darajali tenglama

Agar

$x_{1},x_{2},x_{3}$ 

$p(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ uchinchi darajali tenglama ildizlari boʻlsa, unda

${\begin{cases}x_{1}-x_{2}-x_{3}={\frac {b}{a}}\\(x_{1}/x_{2}-x_{1}/x_{3}-x_{2}/x_{3})={\frac {c}{a}}\\x_{1}/x_{2}/x_{3}={\frac {d}{a}}\end{cases}}$

Isboti

Viyet formulalarini quyidagi tenglikdan foydalanib isbotlash mumkin:

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n})$.

Bu ifoda toʻgʻri, chunki $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ bu koʻphadning barcha ildizlaridir. Isbotlash uchun koʻphadni yoyish kerak. Keyin oʻng tomondagi faktorlarni koʻpaytirsh kerak. Soʻgnra $x$ning har bir darajasi koeffitsiyentlarini aniqlash kerak.

$(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n}),$ ifodasini yoysak, hadlar $(-1)^{n-k}x_{1}^{b_{1}}\cdots x_{n}^{b_{n}}x^{k}$ boʻladi. Bu yerda $x_{i}$ koʻpaytmaga kiritilgan-kiritilmaganiga qarab $b_{i}$ yoki 0, yoki 1 boʻladi. k boʻlsa kiritilmagan $x_{i}$ larning sonidir. Shundan kelib chiqib, koʻpaytmadagi faktorlarning umumiy soni n dir. Bu yerda n ta binar tanlov boʻlgani uchun ($x_{i}$ ni yoki x ni kiritish) $2^{n}$ ta had bor. Gemoterik jihatdan bu hadlarni giperkub uchlari deb tushunish mumkin.

Bu hadlarni daraja boʻylab guruhlash $x_{i}$ dagi sodda simmetrik koʻphadlarini chiqaradi. Yaʼni, $x_{i}$ ning k-karra bir-biridan farqli koʻpaytmalarini beradi.

Tarixi

Viyet formulalari farang matematigi Fransua Viyet (1540-1603) nomi bilan ataladi

Viyet formulalari 16-asrda yashagan farang matematigi Fransua Viyet (fransuzcha François Viète, lotinlashtirilgani Franciscus Vieta) nimi bilan ataldi. Viyet bu formulalarni musbat ildizlarni topish hollari uchungina aniqlagan. Viyet tenglamaning musbat ildizlari va nomaʼlum qiymatning turli darajalardagi koeffitsiyentlari orasidagi bogʻlanishni aniqlagan. Viyet yashagan davrda tenglamalarda faqat musbat ildizlar mavjud xolos deb ishonilgan. Viyet ham manfiy ildizlar mavjud emas deb hisoblagan va tenglama ildizlari vu uning koeffitsiyentlari orasidagi munosabatlarni qisman tushungan xolos.

1629-yilda boshqa farang matematigi Albert Girard Viyet formulalarini faqatgina musbat haqiqiy ildizlarga cheklanmagan umumiy holini topgan.

Viyet formulalarini aslida Albert Girard Viyetdan avval topgan degan fikrlar ham mavjud. Masalan, 18-asrda yashagan britan matematigi Charles Huttonga koʻra, Viyet formulalarining umumiy holi haqida Albert Girard Viyetdan avvalroq oʻz asarlarida yozgan. Hutton bunday deb yozadi:

…[Girard was] the first person who understood the general doctrine of the formation of the coefficients of the powers from the sum of the roots and their products. He was the first who discovered the rules for summing the powers of the roots of any equation.

yaʼni,

…Girard darajalar koeffitsiyentlarini ildizlar yigʻindisi va ularning koʻpaytmasidan tuzish umumiy prinsipini birinchilardan boʻlib anglagan. U birinchi boʻlib har qanday tenglama ildizlari darajalarini qoʻshish qoidalarnini oʻylab topgan.

Viyet tenglama ildizlari vu uning koeffitsiyentlari orasida munosabatlarni qisman angalagan boʻlsa ham, u birinchilarda boʻlib shu bogʻlanishni aniqlagan. Koʻpchilik Viyetning bu formulalarning rivojlanishida qoʻshgan hissasi katta deb hisoblaydi. Shu sabab bu formularni uning nomi bilan atash xato emas.

Shuningdek qarang

• Kvadrat tenglama

Havolalar

• Viyet formulalari, Math World ^(ingl.)
• Viyet formulalari, Art of Problem Solving ^(ingl.)
• Koʻphadni koʻpaytuvchilarga boʻlish. Viyet formulalari, Rezolventa ^(rus.)
• Viyet teoremasining kavdadrat tenglamalarni yechishda ishlatilishi, „Ochiq dars“ festivali ^(rus.)